刘徽发明牟合方盖，祖冲之儿子彻底解决遗留问题

最初是由魏晋时期著名的数学家刘徽提出，他在为《九章算术》做批注的时候发现计算球体体积方法有误，继而发明了牟合方盖的方法。不过之后有在南北朝时期经过祖暅的发展下，形成了更加完善的计算球体体积公式的祖暅原理，比西方早一千年。

一、魏晋刘徽发明牟合方盖

在《九章算术》内由球体体积求球体直径，是把球体体积先乘16再除以9，然后再把得数开立方根求出。为《九章算术》作注的古代数学家刘徽便对这公式有所怀疑：用π=3来计算圆面积时，则较实际面积要少。若按π=4的比率来计算球和外切直圆柱的体积时，则球的体积又较实际多了一些。

然而可以互相通补，但按9：16的比率来计算球和外切立方体体积时，则球的体积较实际多一些。因此，刘徽创造了牟合方盖，一个独特的立体几何图形，当一正立方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分，希望用这个图形以求出球体体积公式，称之为“牟合方盖”。

其实刘徽是希望构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是“牟合方盖”，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π：4，他希望可以用“牟合方盖”来证实《九章算术》的公式有错误。

当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道“牟合方盖”的体积跟内接球体体积的比为4：π，只要有方法找出“牟合方盖”的体积便可，可惜，刘徽始终不能解决，他只可以指出解决方法是计算出“外棋”的体积，但由于“外棋”的形状复杂，所以没有成功。