芝诺的悖论是怎么回事呢？他的逻辑错在哪里？

　　我们在平时阅读或聊天中偶尔会碰到一个词——“悖论”。那到底什么是悖论呢?悖论是怎么发生的呢?我们应该怎么破破解遇到的悖论呢?

　　百度百科对“悖论”给出的定义是：悖论指的是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。

　　简单说就是一句自相矛盾的话，或一段自相矛盾的论证。

　　这样仅给出定义好像还是很难直观地理解悖论，那我们今天就以历史上最著名的悖论——芝诺悖论为例，好好体会一下悖论到底“悖”在哪里。

　　先简单介绍一下芝诺吧，芝诺生活于公元前5世纪，是著名的数学家和哲学家，他的家乡在意大利半岛一个叫埃利亚的地方，哲学中有一个很著名的哲学学派就叫埃利亚学派。芝诺和他的老师巴门尼德都属于其中的代表人物，他们的观点粗暴点儿理解就是，他们认为世界是一个不可分割的、没有空隙的整体，既然如此，世界万物就不能运动(因为没有闲余空间)。总之这个学派否认多样化，否认运动变化。

　　之所以费这么多口舌介绍埃利亚学派的基本观点，是因为今天要介绍的芝诺悖论就是为维护这些观点而提出的。

　　据说芝诺一共提出过四十多个悖论，但最著名的是四个，而今天我们只选择其中最耳熟能详的两个介绍给大家。

　　其中一个叫“阿基琉斯追不上乌龟”。阿基琉斯是古希腊非常著名的运动员，擅长跑步，而乌龟又是速度很慢的动物。如果让阿基琉斯落后乌龟一百米，然后追赶乌龟(假设乌龟的速度是0.1m/s,阿基琉斯比乌龟快100倍，是10m/s)，会怎么样呢?我们一定认为这不费，阿基琉斯一定会很快追上。

　　但是，芝诺认为阿基琉斯永远追不上乌龟，理由是：假如刚出发的时候，阿基琉斯在A点，乌龟在B点。经过一段时间之后他赶到了B点，而乌龟却也往前走了一段——比如到达了C点;阿基琉斯又从B点开始追，等到赶到C点时，乌龟又往前走了一段，到了D点……总之，阿基琉斯每赶到乌龟之前的落脚点，乌龟就已经往前走了一段，虽然它们之间的距离永远在缩小，但他永远追不上乌龟!

　　看到这里，很多同学会马上反驳说：二者之间的距离在不断缩小，就一定会在某个时刻缩小为零，那个时候就赶上了呀?!但是我们注意，这个思想实验之所以可怕，就在于它没有设定二者距离为零的情况，它们的差距可以被演绎到无限缩小，但永远不能为零。因为乌龟在不停的运动，这意味着，不管时间多短，乌龟都会离开阿基琉斯之前定下的的目标往前移动一点点!

　　是不是很抓狂?

　　还有更抓狂的——“飞矢不动”。我们都知道，射出去的箭在飞行过程中是一直处于运动状态的。 但是芝诺提醒我们，如果把飞行的这段时间分成无数个瞬间，我们发现这支箭在每个瞬间都有一个固定的位置——如果我们用摄像机拍下整段视频，我们发现这段视频可以分成无数帧，而且每一帧中(也就是每一瞬间中)，这支箭都是静止不动的。既然箭在这个过程中的每一个瞬间都没有动，那么整段时间中，这支箭也根本就没动!

　　有没有觉得这两个悖论很讨厌?它们讨厌在哪里呢?它们的讨厌之处就在于用看似的逻辑理性演绎出了违背常识的结论。这两个违背常识的结论都是在否认运动。这就是上文提到的，在维护埃利亚学派的基本观点。

　　那么针对悖论，我们怎样才能给予专业、痛快的反驳呢?

　　这个时候切忌轻率地用自己的思维自说自话式的“解决”它，比如对于“阿基琉斯悖论”，我们甚至可以计算出阿基琉斯可以在大约11秒左右赶上乌龟，但这不能算是反驳了这个悖论。芝诺本来是一位数学家，更是一位正常人，他肯定也知道阿基琉斯一定会追上乌龟，所以我们这么说是白搭。

　　那应该怎么办呢?面对悖论，不能指出或者强调它的事实错误，而是要跳到它的逻辑内部理解它，然后指出它的逻辑错误，并指出其是如何导致悖论的，说明白这些就相当于反驳了这个悖论。

　　我们先来看“阿基琉斯悖论”是怎样导致悲剧的：其实这个悖论模糊了一个概念——“无限”。“无限”作为一个事物的属性，描述的到底是这个事物的什么呢?也就是说，当我们说一个事物是“无限”的时候，我们指的是什么意思?这个悖论中的所谓“无限”，就是阿基琉斯在追上乌龟之前的这段空间距离(方便起见，这段距离为A-Z)可以无限分割成无限小的距离段。阿基琉斯并不是在努力跑向那个Z点，赶上乌龟，而是在完成乌龟留下的一个又一个越来越短的但又无限多的距离段。因为这些距离段有无限个，所以他永远也完成不了它们。

　　如果说有一段无限长的、只有起点没有终点的距离，那么阿基琉斯就是跑得再快，也是无法穷尽的。但是这个悖论里的“无限”，指的是对一个定值(线段A-Z)的无限分割，也就是说A-Z这段距离虽然是无限可分的，但是这些无限的部分加起来的总量却是一个定值，总长始终是A-Z，即这是一种“有限”的“无限”。换句话说，阿基琉斯追乌龟这件事的无限，只不过指的是在思维世界中(注意：是在思维世界中)，他要完成的步骤是无限多的;而在现实世界中，他只需要11秒就能完成此事。

　　再来看“飞矢不动”悖论：其实这个悖论也模糊了一个概念——“瞬间”。瞬间到底应该是一个极短但却有长度的“时间段”——就像线段——呢?还是一个没有长度——就像点——的“时刻”呢?一支箭飞行的过程是一大段有长度的时间段，所以它就算被分割的再细，其组成部分也应该是一段一段极小的时间段，而不是像点一样的“时刻”。时间段是运动发生的必要条件，每一场运动都必定发生在一段时间中(不管它有多短)。但在某一时刻中却不能谈运动，而只能谈位置。芝诺正是用“时刻”偷换了“瞬间”。

　　就这样，我们算是大致搞清楚了这两个悖论如何发生的原因，当然也就反驳了它们，他们的错误在于概念的混淆，或逻辑形式的混乱。

　　看到这里，大家可能会产生一个问题：历史上这些哲学家们制造这些悖论到底有什么意义呢?毕竟连他们自己也不会相信这些悖论啊!但其实这些悖论对于锻炼我们的思维，促进思想的发展有很重要的意义。就像头疼脑热的小病反而会锻炼我们的抵抗力一样，芝诺悖论和很多其他逻辑学上有趣的悖论一次又一次地提醒哲学家和逻辑学家们去反思自己的思维框架和习惯，人类就是在这种反思和检讨中战胜无聊、不断进步的，你说对吧?